2023-I-17 – Solving Master

答案：(a)

{51.5}^{\circ}

(b) 不超過

在 $Δ W X Y$ 運用正弦公式，可得
$\begin{array}{rcl} \frac{W X}{\sin ∠ W Y X} & = & \frac{X Y}{\sin ∠ X W Y} \\ \frac{6}{\sin 70^{\circ}} & = & \frac{5}{\sin ∠ X W Y} \\ \sin ∠ X W Y & = & \frac{5 \sin 70^{\circ}}{6} \\ ∠ X W Y & = & 51.543 189 37^{\circ} \end{array}$
設 $Z^{'}$ 為 $Z$ 在 $Δ X Y Z$ 上的投影。
已知 $W Z$ 與 $Δ W X Y$ 的交角為 $30^{\circ}$ 。則 $∠ Z W Z^{'} = 30^{\circ}$ 。在 $Δ W Z Z^{'}$ 中，可得

$\begin{array}{rcl} \tan ∠ Z W Z^{'} & = & \frac{Z Z^{'}}{W Z^{'}} \\ Z Z^{'} & = & W Z^{'} \tan 30^{\circ} \dots ① \end{array}$

設 $P$ 為 $X Y$ 的中點。

由於 $W Z = X Z = Y Z$ ，則 $W Z^{'} = X Z^{'} = Y Z^{'}$ 。所以 $Z^{'}$ 為 $Δ W X Y$ 的外心。

由此， $P Z^{'}$ 為 $X Y$ 的垂直平分線。

所以， $Δ W X Y$ 與 $Δ X Y Z$ 的交角為 $∠ Z P Z^{'}$ 。

由於 $Z^{'}$ 為 $Δ W X Y$ 的外心，所以 $∠ X Z^{'} Y = 2 ∠ X W Y$ (圓心角兩倍於圓周角)。

留意 $Δ P X Z^{'} ≅ Δ P Y Z^{'}$ ，所以 $∠ P Z^{'} X = ∠ P Z^{'} Y$ ( $≅ Δ$ 的對應角)。

由此， $∠ P Z^{'} Y = ∠ X W Y$ 。

在 $Δ P Y Z^{'}$ 中，

$\begin{array}{rcl} \cos ∠ P Z^{'} Y & = & \frac{P Z^{'}}{Y Z^{'}} \\ P Z^{'} & = & Y Z^{'} \cos ∠ P Z^{'} Y \\ P Z^{'} & = & W Z^{'} \cos ∠ X W Y \dots ② \end{array}$

在 $Δ P Z Z^{'}$ 中，

$\begin{array}{rcll} \tan ∠ Z P Z^{'} & = & \frac{Z Z^{'}}{P Z^{'}} \\ \tan ∠ Z P Z^{'} & = & \frac{W Z^{'} \tan 30^{\circ}}{W Z^{'} \cos ∠ X W Y} & ，把 ① 及 ② 代入 \\ \tan ∠ Z P Z^{'} & = & \frac{\tan 30^{\circ}}{\cos 51.543 189 37^{\circ}} \\ ∠ Z P Z^{'} & = & 42.871 428 55^{\circ} \\ ∠ Z P Z^{'} & < & 45^{\circ} \end{array}$

$∴ Δ W X Y$ 與 $X Y Z$ 的交角不超過 $45^{\circ}$ 。

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