2023-II-16

答案：D

將大圓的圓心記為 $O$。

由於 $AC$ 為大圓的一直徑，可得

$\begin{array}{rcl}2AO& =& AC\\ 2AO& =& AG+CG\\ 2AO& =& 30+10\\ AO& =& 20\text{ cm}\end{array}$

留意 $OA$ 及 $OC$ 大圓的半徑，可得

$\begin{array}{rcl}OC& =& OA\\ OG+CG& =& OA\\ OG+10& =& 20\\ OG& =& 10\text{ cm}\end{array}$

由於 $EF$ 及 $BD$ 均為小圓的直徑，則 $G$ 為小圓的圓心。由此，$DG$ 及 $BG$ 為小圓的半徑。

由於 $G$ 為 $BD$ 的中點，且 $O$ 為大圓的圓心，所以 $\mathrm{\angle }OGD={90}^{\circ }$ $\text{(圓心至弦中點的連線垂直圓)}$.

在 $\mathrm{\Delta }ODG$ 中，

$\begin{array}{rcl}D{G}^2& =& O{D}^2-O{G}^2\\ D{G}^2& =& {20}^2-{10}^2\\ DG& =& \sqrt{300}\text{ cm}\end{array}$

另外，

$\begin{array}{rcl}\cos \mathrm{\angle }DOG& =& {\displaystyle \frac{OG}{OD}}\\ \cos \mathrm{\angle }DOG& =& {\displaystyle \frac{10}{20}}\\ \mathrm{\angle }DOG& =& {60}^{\circ }\end{array}$

留音 $\mathrm{\Delta }DGO\cong \mathrm{\Delta }BGO$。所以 $\mathrm{\angle }BOG=\mathrm{\angle }DOG$ 及 $\mathrm{\angle }BOD={120}^{\circ }$。

弓形 $BCD$ 的面積

$\begin{array}{cl}=& OBCD\text{ 扇形的面積}-\mathrm{\Delta }OBD\text{ 的面積}\\ =& \pi (OB{)}^2{\displaystyle \frac{\mathrm{\angle }BOD}{{360}^{\circ }}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(BD)(OG)\\ =& \pi (20{)}^2{\displaystyle \frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2\sqrt{300}\times 10\\ =& 245.6739397{\text{ cm}}^2\end{array}$

半圓 $BEDG$ 的面積

$\begin{array}{cl}=& {\displaystyle \frac{1}{2}}\pi (BG{)}^2\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\pi (\sqrt{300}{)}^2\\ =& 471.238898{\text{ cm}}^2\end{array}$

陰影部分的面積

$\begin{array}{cl}=& \pi (20{)}^2-471.238898-245.6739397\\ =& 539.7242237{\text{ cm}}^2\\ \approx & 540{\text{ cm}}^2\end{array}$