考慮聯立方程組
$\left\{ \begin{array}{ll}
x+3=0 & \ldots \unicode{x2460} \\
2x+3y-12=0 & \ldots \unicode{x2461} \\
5x-3y+12=0 & \ldots \unicode{x2462}
\end{array}\right.$
從 $\unicode{x2460}$，可得 $x=-3$。
把 $x=-3$ 代入 $\unicode{x2461}$，可得
$\begin{array}{rcl}
2(-3)+3y-12 & = & 0 \\
3y & = & 18 \\
y & = & 6
\end{array}$
所以，$\unicode{x2460}$ 及 $\unicode{x2461}$ 的交點的坐點為 $(-3,6)$。
把 $x=-3$ 代入 $\unicode{x2462}$，可得
$\begin{array}{rcl}
5(-3)-3y+12 & = & 0 \\
-3y & = & 3 \\
y & = & -1
\end{array}$
所以，$\unicode{x2460}$ 及 $\unicode{x2462}$ 的交點的坐點為 $(-3,-1)$。
$\unicode{x2461} +\unicode{x2462}$，可得
$\begin{array}{rcl}
7x & = & 0 \\
x & = & 0
\end{array}$
把 $x=0$ 代入 $\unicode{x2461}$，可得
$\begin{array}{rcl}
2(0)+3y-12 & = & 0 \\
3y & = & 12 \\
y & = & 4
\end{array}$
所以，$\unicode{x2461}$ 及 $\unicode{x2462}$ 的交點的坐點為 $(0,4)$。
留意 $\beta x+6y$ 的最大值為 $24$。
對於交點 $(-3,6)$，可得
$\begin{array}{rcl}
\beta(-3)+6(6) & \le & 24 \\
-3\beta +36 & \le & 24 \\
-3\beta & \le & -12 \\
\beta & \ge & 4
\end{array}$
對於交點 $(-3,-1)$，可得
$\begin{array}{rcl}
\beta(-3)+6(-1) & \le & 24 \\
-3\beta-6 & \le & 24 \\
-3\beta & \le & 30 \\
\beta & \ge & 10
\end{array}$
對於交點 $(0,4)$，可得
$\begin{array}{rcl}
\beta(0)+6(4) & \le & 24 \\
24 & \le & 24
\end{array}$
所以，$\beta \ge 4$ 及 $\beta \ge -10$ 及 $24\le 24$。
由此，最後解為 $\beta \ge 4$。
