2023-M2-05 – Solving Master

答案：(c) 正確

$\begin{array}{rcl} A^{2} + A + I & = & 0 \\ (A - I) (A^{2} + A + I) & = & (A - I) 0 \\ A^{3} + A^{2} + A - A^{2} - A - I & = & 0 \\ A^{3} & = & I \end{array}$
利用 (a) 的結果，可得
$\begin{array}{rcl} A^{3} & = & I \\ A (A^{2}) & = & I \\ (A^{2}) A & = & I \end{array}$

所以， $A^{- 1} = A^{2}$ 。

由此， $A$ 為非奇異矩陣。
利用 (a) 及 (b) 的結果，可得 $A^{3} = I$ 及 $A^{- 1} = A^{2}$ 。由此，可得
$\begin{array}{cl} {(A^{1000} + (A^{- 1})^{2000})}^{- 1} \\ = & {(A^{1000} + (A^{2})^{2000})}^{- 1} \\ = & (A^{1000} + A^{4000})^{- 1} \\ = & (A^{999} A + A^{3999} A)^{- 1} \\ = & [(A^{3})^{333} A + (A^{3})^{1333} A]^{- 1} \\ = & (I^{333} A + I^{1333} A)^{- 1} \\ = & (2 A)^{- 1} \\ = & \frac{1}{2} A^{- 1} \\ = & \frac{1}{2} A^{2} \\ = & \frac{1}{2} (- A - I) ， ∵ A^{2} + A + I = 0 \\ = & \frac{- 1}{2} I - \frac{1}{2} A \end{array}$

取 $α = β = \frac{- 1}{2}$ ，它們均是實數。

所以，該宣稱正確。