答案：(c) 正確
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$\begin{array}{rcl}
A^2 +A+I & = & 0 \\
(A-I)(A^2+A+I) & = & (A-I) 0 \\
A^3+A^2+A-A^2-A-I & = & 0 \\
A^3 & = & I
\end{array}$ - 利用 (a) 的結果，可得
$\begin{array}{rcl}
A^3 & = & I \\
A(A^2) & = & I \\
(A^2) A & = & I
\end{array}$所以，$A^{-1}=A^2$。
由此，$A$ 為非奇異矩陣。
- 利用 (a) 及 (b) 的結果，可得 $A^3=I$ 及 $A^{-1}=A^2$。由此，可得
$\begin{array}{cl}
& \left(A^{1000}+(A^{-1})^{2000}\right)^{-1} \\
= & \left(A^{1000}+(A^2)^{2000}\right)^{-1} \\
= & (A^{1000}+A^{4000})^{-1} \\
= & (A^{999} A +A^{3999}A)^{-1} \\
= & [(A^3)^{333}A+(A^3)^{1333}A]^{-1} \\
= & (I^{333}A+I^{1333}A)^{-1} \\
= & (2A)^{-1} \\
= & \dfrac{1}{2} A^{-1} \\
= & \dfrac{1}{2} A^2 \\
= & \dfrac{1}{2}(-A-I) \text{ ，} \because A^2+A+I=0 \\
= & \dfrac{-1}{2}I-\dfrac{1}{2}A
\end{array}$取 $\alpha=\beta=\dfrac{-1}{2}$，它們均是實數。
所以，該宣稱正確。
