2023-M2-07

設 $x=2\sin \theta$，則 $dx=2\cos\theta d\theta$。由此，可得

$\begin{array}{rcl}
y & = & \dint \dfrac{k-3(2\sin\theta)}{\sqrt{4-(2\sin\theta)^2}} \times 2\cos \theta d\theta \\
y & = & \dint \dfrac{k-6\sin \theta}{2\cos \theta} \times 2\cos\theta d\theta \\
y & = & \dint (k-6\sin \theta)d\theta \\
y & = & k\theta +6\cos \theta +C \\
y & = & k\theta +6\sqrt{1-\sin^2\theta} +C \\
y & = & k\sin^{-1}\dfrac{x}{2} +6 \sqrt{1-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2} +C \\
y & = & k\sin^{-1} \dfrac{x}{2} +3\sqrt{4-x^2} +C
\end{array}$

由於 $\Gamma$ 通過原點，把 $(0,0)$ 代入以上的方程，可得

$\begin{array}{rcl}
0 & = & k\sin^{-1}\dfrac{0}{2} + 3\sqrt{4-(0)^2} +C \\
C & = & -6
\end{array}$

所以，$\Gamma$ 的方程為 $y = k\sin^{-1} \dfrac{x}{2} +3\sqrt{4-x^2} -6$。

1. 由於 $\Gamma$ 有轉向點，則於 $(-2, 2)$ 存在一點使得 $\dfrac{dy}{dx}=0$。可得

   $\begin{array}{rcl}
   \dfrac{k-3x}{\sqrt{4-x^2}} & = & 0 \\
   k & = & 3x
   \end{array}$

   由於 $-2< x < 2$，則 $-6< k < 6$。

2. $\begin{array}{rcl}
   \dfrac{dy}{dx} & = & \dfrac{k-3x}{\sqrt{4-x^2}} \\
   \dfrac{d^2y}{dx^2} & = & \dfrac{\sqrt{4-x^2}(-3)-(k-3x)\times \frac{1}{2}(4-x^2)^\frac{-1}{2}\times (-2x)}{(\sqrt{4-x^2})^2} \\
   \dfrac{d^2y}{dx^2} & = & \dfrac{-3(4-x^2)+x(k-3x)}{(4-x)^2\sqrt{4-x^2}} \\
   \dfrac{d^2y}{dx^2} & = & \dfrac{kx-12}{(4-x)^2\sqrt{4-x^2}}
   \end{array}$

   對於拐點，

   $\begin{array}{rcl}
   \dfrac{d^2y}{dx^2} & = & 0 \\
   \dfrac{kx-12}{(4-x)^2\sqrt{4-x^2}} & = & 0 \\
   kx & = & 12
   \end{array}$

   可是，根據 (b)(i) 的結果，$-6< k <6$ 及 $-2 < x <2$，即 $-12< kx < 12$。

   所以在區間 $(-2,2)$ 中，$\dfrac{d^2y}{dx^2} \neq 0$。

   另外，$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 在區間 $(-2,2)$ 中有定義。

   由此，$\Gamma$ 在區間 $(-2,2)$ 中沒有拐點。