2023-M2-08

對於 $n=1$，

$\begin{array}{cl}
& \text{左方} \\
= & \sin \theta \dsum_{k=1}^1 \sin2k\theta \\
= & \sin \theta \sin 2\theta
\end{array}$

另外，

$\begin{array}{cl}
& \text{右方} \\
= & \sin (1\theta)\sin (1+1)\theta \\
= & \sin \theta \sin 2\theta
\end{array}$

$\therefore \text{左方}=\text{右方}$。

由此，$P(1)$ 為真。

假定對於正整數 $m$，$P(m)$ 為真。

即 $\sin \theta \dsum_{k=1}^m\sin2k\theta = \sin m\theta\sin(m+1)\theta$。

對於 $n=m+1$，

$\begin{array}{cl}
& \text{左方} \\
= & \sin \theta \dsum_{k=1}^{m+1}\sin 2k\theta \\
= & \sin \theta \dsum_{k=1}^m \sin 2k\theta +\sin\theta\sin2(m+1)\theta \\
= & \sin m\theta \sin(m+1)\theta+\sin\theta\sin2(m+1)\theta \\
= & \dfrac{1}{2}\{\cos [(m+1)\theta-m\theta]-\cos[(m+1)\theta+m\theta]\} \\
& \ \ \ \ +\dfrac{1}{2}\{\cos [2(m+1)\theta-\theta]-\cos[2(m+1)\theta+\theta]\} \\
= & \dfrac{1}{2}(\cos \theta -\cos (2m+1)\theta+\cos(2m+1)\theta-\cos(2m+3)\theta) \\
= & \dfrac{1}{2} (\cos \theta -\cos(2m+3)\theta) \\
= & \dfrac{-1}{2}\left(2\sin \dfrac{\theta+(2m+3)\theta}{2} \sin\dfrac{\theta-(2m+3)\theta}{2}\right) \\
= & -\sin(m+2)\theta\sin(-m-1)\theta \\
= & \sin(m+1)\theta\sin(m+2)\theta \\
= & \text{右方}
\end{array}$

$\therefore P(m+1)$ 也為真。

所以利用數學歸納法，對於所有正整數 $n$，$P(n)$ 皆為真。

所以，$a=\dfrac{1}{2}$ 及 $b=\dfrac{2}{11}$。