設 $P(n)$ 為一命題。若下列兩種情況均成立：
- 基礎情況：$P(1)$ 成立。
- 歸納情況：對於某正整數 $k \ge 1$，若 $P(k)$ 成立，則 $P(k+1)$ 也成立。
則 $P(n)$ 對於所有正整數 $n$ (或自然數 $n$) 都成立。
$\dsum_{k=1}^n ar^k=\dfrac{ar(r^n-1)}{r-1}$。
[基礎情況]
當 $n=1$ 時，
$\begin{array}{rcl}
\text{左方} & = & ar \\
\text{右方} & = & \dfrac{ar(r-1)}{r-1} \\
& = & ar
\end{array}$
$\therefore \text{左方}=\text{右方}$。
$\therefore P(1)$ 成立。
[歸納情況]
假定對於某正整數 $m\ge 1$，$P(m)$ 成立。
即：$\dsum_{k=1}^m ar^k=\dfrac{ar(r^m-1)}{r-1}$。
當 $n=m+1$ 時，
$\begin{array}{cl}
& \text{左方} \\
= & \dsum_{k=1}^{m+1} ar^k \\
= & \dsum_{k=1}^m ar^k +ar^{m+1} \\
= & \dfrac{ar(r^m-1)}{r-1}+ar^{m+1} & \text{, 根據假設} \\
= & \dfrac{ar(r^m-1)}{r-1}+\dfrac{ar^{m+1}(r-1)}{r-1} \\
= & \dfrac{ar^{m+1}-ar+ar^{m+2}-ar^{m+1}}{r-1} \\
= & \dfrac{ar(r^{m+1}-1)}{r-1} \\
= & \text{右方}
\end{array}$
$\therefore P(m+1)$ 也成立。
$\therefore$ 根據數學歸納法原理，對於所有正整數 $n$，$P(n)$ 成立。
