3. 數學歸納法的原理

[基礎情況]

當 $n=1$ 時，

$\begin{array}{rcl}\text{左方}& =& ar\\ \text{右方}& =& {\displaystyle \frac{ar(r-1)}{r-1}}\\ & =& ar\end{array}$

$\therefore \text{左方}=\text{右方}$。

$\therefore P(1)$ 成立。

[歸納情況]

假定對於某正整數 $m\ge 1$，$P(m)$ 成立。

即：${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a{r}^k={\displaystyle \frac{ar(r^m-1)}{r-1}}}$。

當 $n=m+1$ 時，

$\begin{array}{cl}& \text{左方}\\ =& {\displaystyle \sum _{k=1}^{m+1}a{r}^k}\\ =& {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a{r}^k+a{r}^{m+1}}\\ =& {\displaystyle \frac{ar(r^m-1)}{r-1}}+a{r}^{m+1}& \text{, 根據假設}\\ =& {\displaystyle \frac{ar(r^m-1)}{r-1}}+{\displaystyle \frac{a{r}^{m+1}(r-1)}{r-1}}\\ =& {\displaystyle \frac{a{r}^{m+1}-ar+a{r}^{m+2}-a{r}^{m+1}}{r-1}}\\ =& {\displaystyle \frac{ar(r^{m+1}-1)}{r-1}}\\ =& \text{右方}\end{array}$

$\therefore P(m+1)$ 也成立。

$\therefore$ 根據數學歸納法原理，對於所有正整數 $n$，$P(n)$ 成立。